二十世纪是人类史上科学技术进展最快的世纪。短短的100 年间，涌现了大量对世界产生重大的影响的科学发现和技术突破，包括电视、飞机、抗生素、基因科学、量子力学……。

但若要评选一项渗透至人们日常生活的所有角落、改变人类生活型态最剧烈的科技发明，则非电脑莫属。

第一次工业革命是机械与工厂、第二次工业革命是电力、第三次工业革命乃由电脑发明所激起的资讯时代。有着「第四次工业革命」之称的人工智慧，我们已在深度学习简史中有所探讨。但追本究源，人工智慧所奠基的电脑(计算机)科学，又是怎么来的?

今天就让我们来思考一个有趣的问题：电脑是怎么来的?

ENIAC：情人节诞生的奇迹

普遍认为最早的通用电脑，是美国宾州大学的莫奇来(Mauchly)和他的学生埃克特(Eckert)在1946年2月14日情人节当天所发表的「ENIAC」 。(情人节刚过不久但别再讨论单身鲁了，人家可是在情人节颠覆世界呢XD)

ENIAC 计算机在进行每一次运算之前，都须根据运算要求、把不同的元件用人工插接线路的方式连接在一起。将输入装置和输出装置设好后，才进行通电……啪!一声，电脑哒哒哒的开始运作。

因为这个电路没有储存程式的功能。最早的计算机器仅内涵固定用途的程式，比如一台「计算机器」仅有固定的数学计算程式，除此之外便无其他，无论是文书处理或玩游戏都不行。若想要改变这台机器的程式，你必须更改线路、结构甚至重新设计机器。

冯.纽曼结构与现代电脑

1945 年6 月，是现代电脑科学的里程碑。著名的美籍犹太裔数学家冯.纽曼(John von Neumann) 与多位学者联名发表了一篇长达101 页的报告，其中包括大胆舍弃了十进制、改以二进制运算取代，同时将电脑明确分成五个部分组成(包括：记忆体、控制单元、算术逻辑单元、输入/ 输出装置等)，并描述了这五个部分的功能和相互关系，为电脑的逻辑结构设计奠定了基础。

事实上，EDVAC 报告中最核心的概念即是「可储存程式的电脑(Stored Program Computer) 」。如果是一台能储存程式的电脑，只要一开始先将「文书程式」与「游戏程式」都载入记忆体中，再告诉电脑去记忆体的哪一个位置开始执行就可以完成，在不需更动硬体的情况下就能让电脑变得更加有弹性。

1951 年，美国军方透过冯.纽曼的协助，斥资五十万美元打造了计算机「EDVAC」。相较于十进位、又须人工插接电路的ENIAC，可以说EDVAC 是第一台现代意义的通用计算机，直至今的现代电脑皆仍采用冯.纽曼架构。

在我们介绍冯.纽曼其人其事、与现代电脑的运作原理前，先让我们重看一次标题所提出的问题：「电脑是怎么来的?」为什么冯.纽曼能够造出这样的一台电脑?

不少人把冯.纽曼当作是电脑科学的奠基人，有人甚至称他为「电脑之父」。然而他本人并不接受这个称号。

冯.纽曼认为他的研究成果是受到了英国数学家图灵(Alan Turing)所启发，他仅仅是发扬光大图灵的原始概念。这台「可储存程式电脑」真正的意义，其实就是通用图灵机。冯.纽曼将这个概念的创始人公正无私地还予图灵。

图灵：可计算理论与图灵机

好吧这么来看，如果我们想要了解「电脑是怎么来的?」，势必得再先去了解图灵这位同样有着「电脑科学之父」与「人工智慧之父」之称的伟大学者，与其图灵机(Turing Machine) 的理论了。

1934 年，年仅22 岁的图灵从剑桥大学毕业、到美国普林斯顿大学攻读博士学位。二战爆发后，图灵在1939 年被英国皇家海军招聘，协助军方成功破译德国的密码系统Enigma，让英国军方对德国的军事计划了如指掌。图灵小组的杰出工作，更使得盟军提前至少两年战胜纳粹。

除了作为一位杰出的密码学家，在电影没详述的部分中，图灵在电脑科学上的贡献更是难以抹灭。

1936年，24岁的图灵发表了一篇论文《论可计算数及其在判定问题上的应用》(On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem)。在这篇极富开创性的论文中，图灵提出了「图灵机」(Turing Machine)概念。

「图灵机」不是一台具体的机器，而是一种运算模型，可制造一种十分简单但运算能力极强的机械装置，用来计算所有能想像得到的可计算函数。

图灵机是阐明现代电脑原理的开山之作，奠定了整个电脑科学的理论基础。如果说冯纽曼是实际打造出一台现代电脑的电脑之父，其所依据的理论基础即源自于图灵机。

但，什么叫可计算?为什么图灵会探讨这个问题?实际上，上述关于图灵论文与图灵机的介绍，更明确的说法应是：图灵在1936 年发布的论文中，对于「哥德尔不完备定理」重新做了论述。相较于哥德尔在证明其不完备定理时、采用的通用算术形式系统，图灵使用了叫做「图灵机」的简单装置作为代替。

咦，我们这边又多提到一个人了?!哥德尔……?

哥德尔不完备定理哥德尔(Gödel)被誉为自亚里士多德以来、历史上最伟大的逻辑学家之一。毫不夸张地说，正是哥德尔使数理逻辑与哲学界发生了极大的革命。

1931 年，19 岁的图灵进入剑桥大学就读;但这一年，同时成了撼动数学界的里程碑——奥地利数学家哥德尔提出不完备定理，证明不存在既完备又一致的数学体系，粉碎了无数位数学家追求圣杯的野心。

人类总是渴求着确定的知识，也称为真理 ——藉由纯数理论与逻辑证明，数学家不断寻找着真理的可确定性。

哥德尔当年的发现，简单来说是：「并非所有为真者，皆可循一逻辑演绎过程而得知」。再更直白点就是：「真理的范围、比我们所能证明的范围还大。」

数学家乃藉由公理(不证自明、理所当然为真的命题)进行一连串的推理、最后得出数学定理;基本上是活在一个以逻辑演绎为本质的世界。今天突然有人成功证明了：有些数学命题，我们既没办法证明它为真，也没办法证明它为假……，可想而知，这对于数学界无非是一项沉重的打击!

五年后的图灵之所以提出「图灵机」计算模型，即是以计算机的形式重新演绎了哥德尔的不完备定理，同时补充了判定问题--是否存在一个程式，能判断：我们任意输入的一个程式，是否能在有限的时间内结束步骤?或者会陷入无穷回圈?(当我们对电脑下两个指令：【往左后往右】与【往右后往左】，电脑就会陷入无穷的回圈)

哥德尔的发现，引起了当时重要数学家如希尔伯特与冯.纽曼(还记得这个人吗?这位计算机之父早年是希尔伯特的助手)等人的重视。到后来不但启发了后续众多数学家、哲学家：若无法使用逻辑演绎完全了解宇宙，该何以为继?更激起图灵创造出了电脑科学在理论上的滥觞。

但是，为什么哥德尔会探讨这样的问题呢?因为有人下了战帖!

谁?就是上上句我们提到的大数学家希尔伯特!

希尔伯特的23 个问题希尔伯特(David Hilbert) 是二十世纪初期德国最伟大的数学家之一。

在世纪之交的1900 年、一场巴黎国际数学家大会的演讲当中，希尔伯特根据19 世纪的研究成果和发展趋势，以卓越的洞察力提出了23 个当时尚未被解开的困难数学问题，并鼓舞年轻数学家积极攻克：

「在我们中间，常常听到这样的呼声：这里有一个数学问题，去找出它的答案!你能通过纯思维找到它，因为在数学中没有不可知。」(希尔伯特大大按曰：只要解出来就能名留青史噢!)这就是著名的希尔伯特的23 个问题。

希尔伯特的23 个问题对20 世纪的数学研究起了积极的作用，不但超乎希尔伯特的预期，更未曾预料到从其中衍生而出的电脑科学、将会对世界产生无比重大的影响。

而哥德尔之所以提出不完备定理，想解答的正是这23 个问题中的第二个问题：算术公理系统的无矛盾性。简单来说，希尔伯特希望能以一个完美的形式系统，成功证明所有的真理、同时找出所有矛盾的陈述。

在这个问题上，希尔伯特原先坚定地表示：「没有人能将我们逐出康托尔的乐园。」不仅仅是第二个问题，希尔伯特在23 个问题中所提出(显然最在意)的第一个问题连续统假设，也是康托尔的研究中所面临问题。

康托尔……?请放心，这会是本篇文章中所出现的最后一位人名了。

无限多的危机：康托尔集合论到目前为止，我们已经使用了许多强烈的形容词，包括：电脑科学之父、伟大的逻辑学家、数学家……。但在这些学者的研究基础上，我们不能不提现代数学的奠基者—— 集合论之父康托尔(Cantor) 。

令集合A = {1, 2, 3, 4, 5 }，B = {1, 3, 5, 7, 9}

则1, 3, 5同时为集合A和B的元素，且A集合和B集合的大小相等。康托尔可以说是数学史上最富有想像力的数学家之一，其所开创的集合论则可以说是人类最伟大发明之一--当年康托尔面临的，正是数学界几百年几千年的疑惧：「无限」。

1-1+1-1+1… = 0, 1 还是1/2?0.99999….. = 1?还是<1?无限有多大?正整数、整数(正整数/ 负整数/ 0)、实数(有理数/ 无理数) ……等数系的数量相同吗?

Z+： ∞ (正整数有无限多个)， Z-： ∞ (负整数有无限多个)， Z： ∞ (整数有无限多个)。

因此： ∞ = 2∞+1 (所有整数个数=正整数个数+负整数个数+一个0)，移项得： -∞ = 1，

故： ∞ = -1 …?!为了处理「无限」这个长久得不到解决的难题，康托尔在19 世纪下半叶创立了「集合」理论，证明了各个数系虽然是都是无限多，还是有数量上的差别：

| 正整数| = | 整数| = | 有理数| < | 无理数| = | 实数| = | 复数 |无限多的正整数数量= 无限多的整数数量= 无限多的有理数数量< 无限多的无理数数量= 无限多的实数数量= 无限多的复数数量

然而集合论实在太过创新、对于无限的解释也背离了传统，刚开始时康托尔受到了严厉的谴责与挞伐。

但随后，许多年轻的数学家开始意识到集合论非常的有用--基于自然数(正整数)与集合论，当时一切的数学成果都可以成功被推证出来。

1900 年在国际数学家大会上，法国数学家庞加莱兴高采烈地宣称：「借助集合论，我们可以建造起整个数学大厦。」1925 年，希尔伯特也提出了「希尔伯特旅馆悖论」来应和康托尔的理论。

然而康托尔集合论仍然面临了许多问题。首先是连续统假设--我们已知：

|正整数| = |整数| = |有理数| < |无理数| = |实数| = |复数|

那么还有没有一个数系，介于此二者间呢?

始终证明不出问题、又受到世人无数攻讦的康托尔，晚年发了疯、死在精神病院中。

但除此之外，集合论还有一个问题是罗素悖论：「这句话是假的。」读者只要稍加推论就会发现：如果这句话是真的，那么这句话是假的会成立……?!如果这句话是假的，那这句话就是真的……?!这个命题就矛盾了。

罗素悖论应用在集合论的问题即是：如果我们创造一个集合A，里面收集了所有不包含在自己这个集合的集合：A = {x|x∉x}。若是A∈A 成立，则A 是A 的集合、使得A∉A。但若A∉A，则符合命题，使得A∈A。

好不容易我们在集合论的基础上构筑起了数学大厦，结果发现集合论也是不完美的。究竟能不能找到一个完备的系统，从上面建筑起整个数学的基础呢?

这样的系统是否存在呢?希尔伯特除了在23 个问题中的第一个问题提出「连续统假设」，身为康托尔坚定的拥护者(脑粉)，也在第二个问题中提了这样的难题。

这也接续到我们先前的介绍：再后来哥德尔成功证明了不完备定理、解决了23 个问题中的第二个问题，到图灵用「图灵机」的概念更加简单明了的重新演绎一次哥德尔不完备定理，最后冯.纽曼基于通用图灵机的概念、建出了第一台具备现代电脑架构雏形的电脑。

哇!「电脑是怎么来的」居然爬梳出这么多的问题?

哲学：不懈探究真理的精神若要探究下去，你知道：康托尔、希尔伯特、哥德尔、冯.纽曼…等人都是德国人吗(哥德尔和冯.纽曼皆为奥匈帝国人)?19 世纪的德国究竟是一个什么样的时代，造就了如此多的数学大家?

事实上，你知道这些数学家同时还有着哲学家的头衔吗?更进一步来说，19 世纪知名德国哲学家，尚包括了：黑格尔、叔本华、马克思、尼采、康德… 毫无疑问地，当时的德国可说是欧洲最具代表性的哲学重镇。

哲学在西方文化中扮演了非常重要的角色，也是现代科学会出现在欧洲的重要原因。至于西方哲学追求真理的精神，又是起源于何时何处呢?这又要回溯到希腊时期，比如亚里斯多德的三段式证法或毕达哥拉斯学派……。

观察过往，出现像上述「无限有多大」这样的数学危机，在人类史上也不是第一次发生了：负数的英文为--Negative Number、无理数--Irrational Number、虚数--Imaginary Number。否定的(Negative)、不合理的(Irrational)、想像的(Imaginary)……。

从这些词汇中可以看出在探究真理的过程中，人类总是不断遭遇思想上的困难，却又能在突破后、成功踏上崭新的道路。今天我们思考了一个问题：「电脑是怎么来的?」，并从中衍生出了更多值得探索的问题：

.数学是逻辑、也是哲学?

.历史上其他的数学危机有哪些、又是如何被解决的?

.希腊亚里斯多德时代至一战前的德国，哲学是如何百花齐放?

.无限有多大?

.悲剧性的数学家康托尔为什么伟大?

.希尔伯特的23个问题?

.我们能造出一台判别真理的机器吗?

.哥德尔不完备定理是什么?图灵机呢?

.计算机的电路是怎么计算和记忆的?

没有了探求宇宙真理的精神，或许工业革命就不会出现在欧洲了?人类也不会有科技发展、或者今日的生活。